|
Definicja pochodnej w punkcie
Jeżeli istnieje skończona granica:
to jest ona pochodną funkcji w punkcie x0.
Granicę tę oznaczamy symbolem f'(x0). O takiej funkcji mówimy, że jest różniczkowalna w punkcie x0.
Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie
Pochodna f'(x0) jest równa tangensowi kąta α, jaki tworzy z osią OX styczna do wykresu funkcji w punkcie x0.
Styczna do wykresu funkcji
Styczna do wykresu funkcji f w punkcie P=(x0,y0) można opisać równaniem:
y - y0 = m ( x - x0)
gdzie m = f'(x0)
Kąt przecięcia krzywych
Kątem między dwoma przecinającymi się krzywymi nazywamy jeden z dwóch kątów między stycznymi do tych krzywych w punkcie ich przecięcia.
Przypuśćmy, że krzywe f(x) i g(x) przecinają się w punkcie P(x,y).
Niech m1=f'(x) i m2=g'(x).
Uwaga! Jeżeli w mianowniku wzoru otrzymamy 0, to znaczy że tangens tego kąta nie istnieje, zatem wynosi on 90o.
Różniczkowalność funkcji
Jeżeli w punkcie o odciętej x0 istenieją skończone granice ilorazu różnicowego: lewostronna i prawostronna, które są sobie równe to funkcja jest różniczkowalna w tym punkcie.
Wiemy też, że jeżeli funkcja jest różniczkowalna w danym punkcie to jest w nim także ciągła, jednak twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe (np. funkcja y=|x| jest ciągła, ale nie różniczkowalna dla x=0).
Pochodna jako funkcja
Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne w pewnym zbiorze to funkcje
c*f (c oznacza pewną stałą), f+g, f-g, f*g, f/g (dla g(x) różnego od 0) są także różniczkowalne w tym zbiorze.
Spełnione są następujące równości:
(c*f)'(x) = c*f'(x)
(f+g)'(x) = f'(x)+g'(x)
(f-g)'(x) = f'(x)-g'(x)
(f*g)'(x) = f'(x)*g(x)+g'(x)*f(x)
Pochodne funkcji elementarnych
(c)' = 0
xn = n*xn-1
(sinx)' = cosx
(cosx)' = -sinx
Monotoniczność funkcji
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w pewnym przedziale i dla każdego x z tego przedziału f'(x)<0 to funkcja jest malejąca w tym przedziale.
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w pewnym przedziale i dla każdego x z tego przedziału f'(x)>0 to funkcja jest rosnąca w tym przedziale.
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w pewnym przedziale i dla każdego x z tego przedziału f'(x)=0 to funkcja jest stała w tym przedziale.
Jeżeli natomiast funkcja jest rosnąca w danym przedziale to pochodna f'(x) jest liczbą nieujemną dla każdego x z tego przedziału.
Podobnie jeśli funkcja jest malejąca w danym przedziale to pochodna f'(x) jest liczbą niedodatnią dla każdego x z tego przedziału.
Ekstrema funkcji
Ekstremum stanowi pojęcie lokalne (nie należy go utożsamiać z największą czy najmniejszą wartością funkcji). Jest ono związane z zachowaniem się funkcji w pewnym otoczeniu i nie zależy od wartości funkcji poza tym otoczeniem.
Jeżeli funkcja f(x) ma ekstremum w punkcie x0 i ma w tym punkcie pochodną to f'(x0)=0.
Warunek ten zwany jest Warunkiem Koniecznym Ekstremum (WKE).
Należy zauważyć, że twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Jeżeli pochodna wynosi 0, to funkcja nie musi mieć ekstremum. Dlatego należy sprawdzić także Warunek Wystarczający Ekstremum (WWE).
Szukając ekstremum najpierw sprawdzamy WKE (korzystając z twierdzenia, że ekstremum może być tylko w tych punktach, gdzie pochodna wynosi 0 bądź to nie istnieje), następnie WWE, przy czym oba poniżej podane WWE są równoważne i sprawdza się tylko jeden (dowolnie wybrany, najlepiej ten, który najwygodniej).
I warunek wystarczający:
Jeżeli pochodna funkcji zmienia znak w punkcie krytycznym (punkt, gdzie f'(x)=0), to stanowi on ekstremum funkcji (maksimum jeśli z dodatniego na ujemny, minimum jeśli z ujemnego na dodatni). W celu sprawdzenia tego warunku rysujemy wykres pochodnej funkcji i z niego odczytujemy czy krzywa przecina oś OX w miejscach zerowych czy tylko się z nią styka.
II warunek wystarczający:
Jeżeli funkcja ma w otoczeniu pochodną f'(x) i drugą pochodną f''(x), ciągłą w punkcie x0 o wartości różnej od zera, to funkcja f(x) ma w punkcie x0 ekstremum lokalne:
maksimum, gdy f''(x0)<0
minimum, gdy f''(x0)>0
| 
