Ciąg arytmetyczny

Ciąg (a_n) określamy jako arytmetyczny, jeśli każdy wyraz z wyjątkiem pierwszego spełnia warunek a_n+1 = a_n + r, gdzie r jest różnicą ciągu arytmetycznego charakterystyczną dla danego ciągu. Ciąg arytmetyczny musi mieć co najmniej 3 wyrazy.

Monotoniczność

Jeżeli r>0, to ciąg arytmetyczny jest rosnący
Jeżeli r<0, to ciąg arytmetyczny jest malejący
Jeżeli r=0, to ciąg arytmetyczny jest stały

n-ty wyraz

a_n = a₁ + (n-1) * r

Jeśli a_n nie jest pierwszym ani ostatnim wyrazem ciągu, to prawdziwa jest zależność:


Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego



Ciąg geometryczny

Ciąg (a_n) określamy jako geometryczny, jeśli każdy wyraz z wyjątkiem pierwszego spełnia warunek a_n+1 = a_n * q, gdzie q jest ilorazem ciągu geometrycznego charakterystyczną dla danego ciągu. Ciąg geometryczny musi mieć co najmniej 3 wyrazy.

Monotoniczność

Jeżeli q>1 i a₁>0, to ciąg geometryczny jest rosnący
Jeżeli 0<q<1 i a₁<0, to ciąg geometryczny jest rosnący
Jeżeli q<1 i a₁>0, to ciąg geometryczny jest malejący
Jeżeli 0<q<1 i a₁>0, to ciąg geometryczny jest malejący
Jeżeli q<0, to ciąg geometryczny jest naprzemienny
Jeżeli q=0, to ciąg geometryczny jest stały

n-ty wyraz

a_n = a₁ * q^n-1

Jeśli a_n nie jest pierwszym ani ostatnim wyrazem ciągu, to prawdziwa jest zależność:
a_n² = a_n-1 * a_n+1

Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego



Szereg geometryczny

W nieskończonym ciągu geometrycznym, w którym |q|<1, możemy określić sume
S = a₁ + a₂ + a₃ + ..., zwaną sumą szeregu geometrycznego lub sumą nieskończonego ciągu geometrycznego, którą da się określić wzorem:


Badanie monotoniczności ciągu

Aby zbadać monotoniczność ciągu o danym wyrazie ogólnym (zgodnie z definicją), należy zbadać znak różnicy a_n+1 - a_n.
Jeśli jest ona dodatnia wtedy ciąg jest rosnący, jeśli ujemna ciąg jest stały, a jeśli równa 0 to ciąg jest stały.
Istnieją oczywiście inne metody badania monotoniczności (np. analogiczna jak przy funkcjach), jednak ta jest wyjściowa i podstawowa.